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下手くそなあいつのせいで…

 

ブラックジャックブラックジャックの勝率は他人のプレイ(正しくても間違っていても)に影響されるだろうか?

 

 

多くの人は下手なプレイヤーのバッドプレイが、テーブル全体に影響してしまうと思っている。

 

 

これは全くもって間違いである。

 

 

実際には、他人のプレイは自分のプレイの結果に影響しない(ただし唯一の例外は、他人が残りのカードを全て使いきってしまい、再シャッフルすることになる場合だ)。

 

 

ラウンドを終えるのに十分なカードが残っていれば、プレイヤ一の期待値全体は、他人に影響されることはない

 

 

この真実を数学的に立証してみよう。

 

 

まず、残りのデッキが

  • 有利なカード(10とA) =x枚
  • 不利なカード(2~7)=y枚
  • 中立のカード(8と9) =z枚

で構成されていると仮定する。

 

 

デッキの最後には、ランニングカウントは必ず+4になる。

 

 

よって現在の RCは4+x-yと表せる。以下は、「有利」「不利」「中立」のそれぞれのカードを次に引く確率を示している。

  • P(x) = x/(x+y+z)
  • P(y) = y/(x+y+z)
  • P(z) =Dz/(x+y+z)

 

 

自分の前のプレイヤーがヒットしたとしよう。

 

 

もしそのカードが有利なカードなら、有利なカードは残り(x-1)枚となる。

 

 

さらに全体の残り枚数は(x+y+z-1)となる。

 

 

彼の後に、自分が有利なカードを引く確率は、(x-1)/(x+y+z-1)となる。

 

 

逆に、彼が不利なカードを引いた場合、自分が有利なカードを引く確率は、x/(x+y+z-1)である。

 

 

最後に、彼が中立のカードを引いた場合は、その後自分が有利なカード引く確率は同じx/(x+y+z-1)となる。

 

 

有利なカードを引く総合的な確率を求めるためには、これらの結果をそれぞれの起こる確率と掛け合わせ、さらにそれらの結果を足し合わせる。

 

 

それが以下の方程式になる。

 

  • P(x) = [x/(x+y+z)] *[(x-1)/(x+y+z-1)]+ [y/(x+y+z)]*[x/(x+y+z-1)]+[z/(x +y+z)*[z/(x+y+z-1)]

 

 

分子部分をまとめると

  • P(x) = x(x+y+z-10]/[(x+y+z)(x+y+z-1)]

 

 

または単純に

  • P(x) = x/(x+y+z)

 

 

これはまさに、最初に示した有利なカードを引く確率と同じである。

 

 

よって、自分より前のプレイヤーが1回ヒットしても、2回ヒットしても、20でヒットしたとしても全く関係ないのである。

 

 

全体としては、欲しいカードが来る確率は変わらないのだ(ただし、彼のプレイが終了した後、カードが少なくても1枚以上残っているという前提で)。

 

 

さらに、自分のハンド合計の見込み、ディーラーのハンド合計の見込み、そして総合的な勝ち負けの確率は、ラウンドが終了するまでのカードが残ってさえいれば、他のプレイヤーのどんなプレイにも全く影響されないのである。

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